Kaj Sotala - Näkökulmia mieleen ja maailmaan Blogi on ikkuna kirjoittajansa ajatuksiin ja mielipiteisiin, sivuten yhteiskunnallisia aiheita psykologiasta tekijänoikeuksiin.

Kouluista ja matematiikan opetuksesta

En ole kovin yksin mielipiteessäni, kun pidän perus- ja toisen asteen koulujen matematiikan opetusta pitkälti epäonnistuneena. Kyllä, saatamme saada hyviä pisteitä kansainvälisissä Pisa-vertailuissa sun muissa (ja niidenkin mielekkyys on kyseenalaistettu), mutta nykymallinen matematiikan opetus jättää silti lapsille kuvan matikasta tylsänä ja abstraktina aiheena, jolla ei ole mitään yhteyttä arkipäivän elämään. Näin saattaa hyvin käydä, vaikka olisi matemaattisesti lahjakaskin. Minulla on yliopistossa tällä hetkellä matematiikka laajana sivuaineena ja olen ottanut siitä pääosin hyviä arvosanoja, mutta lukiossa tulin alunperin valinneeksi lyhyen matematiikan. Syyt olivat pitkälti juuri ne, joita äsken luettelin: matematiikka tuntui kylmältä ja tylsältä aineelta, ja sen kautta myös kaikki yhtään matemaattisemmat alat. En olisi löytänyt matikan iloja ilman muutamaa sitä harrastavaa ystävää ja netissä olevia matematiikkaa kiinnostavasti käsitteleviä kirjoituksia.

Mitä asialle sitten pitäisi tehdä? Tässä joitakin ehdotuksiani. En tosin ole kasvatustieteilijä, ja osaa näistä asioista on saatettu jo kokeilla ja todeta toimimattomiksi. Jos näin on, kertokaa ihmeessä.

Eräs tärkeä periaate: koulun tehtävä on ihan yhtä paljon innostaa jonkin aiheen pariin kuin konkreettisesti opettaakin sitä. Voimme tehdä uhrauksia sen suhteen, miten hyvin koululaiset konkreettisesti oppivat matikasta, mikäli he myös innostuvat matikasta enemmän. Matikan hyväkin perustuntemus on täysin hukkaanheitettyä, mikäli sitä ei koskaan käytetä ja se unohtuu. Sen sijaan mikäli siitä on aidosti innostunut, voi puutteelliseksi jääneet osat harjoitella oma-aloitteisesti koulun ulkopuolellakin. Tämä ei tietenkään tarkoita sitä, etteikö tulisi myös pyrkiä luomaan hyvää perustaa kyseisille taidoille, jotta omalla ajalla joutuisi sitten tekemään mahdollisimman vähän työlästä ja tylsää perusopettelua. Tämän vuoksi heitämme opetusuunnitelmasta pois kaiken, minkä hyödyllisyyttä ei motivoivasti pysty perustelemaan oppilaille. Jos taitoa ei koe hyödylliseksi tai hauskaksi, ei sitä tule koulun ulkopuolella käyttäneeksikään. Lukiossa lyhyenkin matematiikan opettajat joutuivat myöntämään, että kursseilla oli paljon sellaista, mitä ei arkipäivän elämässä tulisi tarvitsemaan. Tämä on pohjanoteeraus, ja se antaa helposti aineesta kuvan vastenmielisenä asiana, jota opetellaan vain koska on pakko. Jokainen opetettava asia on voitava perustella kriittisellekin oppilaalle, tai siirtää valinnaiseksi.

Mitä sitten konkreettisesti jättää pois? Aloitetaan ala-asteelta. Päässälaskutaidon perusteet ovat laskintenkin aikakaudella hyödyllisiä, sillä usein niitä hyödyntämällä pärjää paljon nopeammin kuin jos joutuisi kaivamaan erikseen laskinta esiin. Niiden avulla on myös helpompi huomata, mikäli on tullut tehneeksi laskimella näppäilyvirheitä ja saanut aivan epäuskottavan tuloksen. Samaten kertotaulujen osaaminen on edelleenkin selkeä hyöty. Sen sijaan vähemmän hyödyllisiä taitoja ovat jakokulmien opettelu ja kertotoimitusten tekeminen paperilla - mikäli ollaan tilanteessa jossa se on tarpeen, saisi asian yhtä hyvin hoidettua nopeammin laskimella. Myönnän etten tiedä, opetetaanko näitä vielä ala-asteella, mutta opetettiin ainakin minun aikanani. En välttämättä poistaisi näitä aivan kokonaan, koska niistä saa edelleen hyödyllisen näkökulman siihen miten kerto- ja jakolasku käytännössä toimivat, mutta vähentäisin selkeästi niiden painoa. Todettakoon vielä selkeyden vuoksi, etten kannata laskinten antamista ala-asteella käyttöön - tarkoituksena olisi edelleen käydä läpi päässälaskemistakin, mutta lähinnä niitä osia, joista on hyötyä laskimen kanssakin.

Yläasteen matikanopetuksesta en hirveästi muista, kommentoikaa jos tulee jotain turhaa sieltä mieleen. Geometriaa saattoi ainakin olla enemmän kuin oikeasti tarvitsee. Lukio on paremmassa muistissa. Lyhyt matematiikka on niille jotka eivät muutenkaan aio tekemään mitään matemaattista, joten sieltä voisi suosiolla jättää pois esim. derivaatat ja siirtää ne valinnaisille kursseille. Sekä lyhyen että pitkän puolella voisi vähentää kaavojen opettelua ja sen sijaan painottaa sitä, että ymmärrettäisiin miksi ne kaavat toimivat.

Kun opetussuunnitelmaan olisi saatu raivattua tilaa, tekisin siihen lisäyksiä ja muutoksia. Päässälaskun opettelusta voisi koettaa tehdä mielenkiintoisempaa. Yksi hyvä idea olisi opettaa päässälaskua steriilien oppikirjatehtävien lisäksi myös peleillä. Nykyään on paljon haastavia mutta silti suhteellisen yksinkertaisia lautapelejä, jotka vaativat päässälaskemista pisteiden hahmottamiseen ja strategian suunnitteluun. Esimerkiksi Carcassonne ja Catanin uudisasukkaat ovat joitakin tämäntyyppisiä pelejä. En tunne kasvatustiedettä tarpeeksi hyvin sanoakseni, miten vanhoja lasten tarvitsisi vähimmillään olla pelatakseen näitä, mutta veikkaisin näppituntumalta noin kymmentä vuotta. Sitä nuoremmille voisi sitten antaa vastaavia, vähän yksinkertaisempia pelejä. Yläasteella osa kavereista alkoi muistini mukaan jo oma-aloitteisesti pelaamaan pokeria. Mitä tapahtuisikaan matematiikan maineelle tylsänä ja kuivana oppiaineena, jos se olisikin se osa päivää, jolloin päästään pelaamaan pelejä?

On tärkeää, että pelit ovat aidosti kiinnostavia. Muistan peruskouluajalta muutamia "opetuspelejä", joissa esimerkiksi edettiin nopanheiton verran ja saatiin edetä jos osasi vastata kysymykseen oikein. Toisenlaisia, mutta yhtä tylsiä, olivat tietokoneella olevat opetuspelit joissa ratkottiin yhteenlaskutehtäviä. Ne eivät oikeastaan mitenkään eronneet yhteenlaskutehtävistä joita ratkottiin oppikirjasta, sattuivatpahan vain olemaan tietokoneella. Pelien on oltava sellaisia, joita aikuisetkin voisivat pelata - sellaisia, joista ei näe korvillaankin, että niiden peliosuus on vain äkkiä opettavaisuuden päälle keksitty kerros. Parhaassa tapauksessa opettavaisuuselementtiä ei tulisi edes suoraan ajatelleeksi.

Kokonaan ei matikantunteja voi muuttaa pelaamiseksi, useastakin syystä. Vaikka pelit todennäköisesti motivoisivatkin valtaosaa oppilaista tylsiä tehtäviä enemmän, pitäisi ainakin osa oppilaista kyseisiä pelejä tylsinä, eikä siten olisi myöskään kovin motivoitunutta nähdäkseen vaivaa ja ajattelemaan niissä pärjätäkseen. (Osittain tätä voi kompensoida valitsemalla mahdollisimman paljon erilaisia pelejä, joskin valintoja rajoittaa se, että kaikissa on jollain tapaa tarvittava laskupäätä.) Arvosanojakaan ei oikein suoraan pelimenestyksen pohjalta voisi ainakaan moninpeleissä antaa, sillä niissä vaikuttavat liikaa muiden pelaajien taidot ja tuuri. Toimiva ratkaisu saattaisi esimerkiksi olla malli, jossa vaikka joka toinen oppitunti olisi perinteistä matikanopetusta ja joka toinen pelaamista, ja arvosanat tulisivat perinteisesti kotitehtävien ja kokeiden perusteella. Tällöin oppilaat voisivat ajatella hiovansa perinteisillä tunneilla laskutaitojaan pelitunteja varten, ja päinvastoin.

Näitä asioita muuttaisin. Eräs tämän tekstin aiemman version lukenut kommentoi, että koulussa voisi myös opettaa matematiikan historiaa. Tämäkin voisi pienissä määrin olla hyvä idea - opit voivat mennä paremmin päähän, kun kykenee näkemään sen historiallisen kontekstin ja tarpeen, johon ne on alunperin kehitetty. (Pitää tosin varoa äärimmäisyyksiä - filosofian opetus on omasta mielestäni nykyisellään aika huonossa jamassa, koska pääsääntöisesti oppilaitoksissa opetetaan henkilöpainotteista filosofian historiaa varsinaisen filosofian sijaan.)

Lisäisin opetukseen ainakin varhaisempaa ja syvällisempää todennäköisyyslaskentaa. Nykyhetkellä todennäköisyyslaskentaa tulee vasta lukiossa, ja lukionkin opetuksessa puhutaan todennäköisyyksistä lähinnä suhteellisen abstraktina asiana. Missään ei tule esille sitä hyvin syvällistä filosofista näkökulmaa, joka tekee todennäköisyyslaskennasta oikeasti kiinnostavaa: kaikki arkipäivän uskomustemme muodostaminen, ja eri päätösten tekeminen, on pohjimmiltaan todennäköisyyslaskentaa. Kun mietimme miten paljon aikaa pitäisi varata matkaan ja mahtaako matkalla tulla hidastavaa ruuhkaa, punnitsemme todennäköisyyksiä. Kun pohdimme mahdollisuuksiamme saada työpaikka ja koetamme päättää, kannattaisiko jaksaa käyttää aikaa työhakemuksen kirjoittamiseen, punnitsemme todennäköisyyksiä. Vielä syvällisempi havainto on, että myös kaikenlaiset uskomukset maailmasta ovat todellisuudessa todennäköisyysarvioita. Kun mietimme uskoako jotakin tiedemiehen tai poliitikon esittämää väitettä, harrastamme taas todennäköisyyksien punnitsemista. Tätä äärimmäisen perustavanlaatuista ajatusta ei millään tapaa tuotu minulle esiin koulussa, vaikka sen ymmärtäminen olisi elintärkeää kaikille.

Mitä käytännön hyötyä tästä oivalluksesta sitten on? Otetaan kaksi esimerkkiä. Lukion todennäköisyyslaskennasta - tai ihan maalaisjärjestä - ovat useimmat oppineet, että on vähemmän todennäköistä että kaksi asiaa tapahtuu, kuin että ainakin yksi asia tapahtuu. On todennäköisempää heittää nopalla kuutonen ja sitten mikä tahansa luku, kuin kaksi kuutosta putkeen. Tosimaailmaan sovellettuna: yksinkertaisemmat uskomukset ovat oletusarvoisesti todennäköisempiä kuin monimutkaiset. Usein ihmiset kuitenkin toteavat etteivät kykene selittämään jotain, ja keksivät tällöin tyhjästä selityksen. Jos emme tiedä miten maailma syntyi, täytyy olettaa Jumala sen tekijäksi. Jos ihmisillä on katkonaisia muistoja yöltä, täytyy sen johtua siitä, että avaruusoliot sieppasivat. Ja niin edelleen. Näin ajatellessa unohdetaan kuitenkin, että jokainen ylimääräinen yksityiskohta tekee teoriasta vähemmän todennäköisen. Se ei toki tarkoita sitä, etteivätkö monimutkaisetkin teoriat voisi olla tosia, mutta jokainen ylimääräinen yksityiskohta on rasite, joka on perusteltava. Voimme toki halutessamme olettaa, että Jumala on luonut maailman, mutta silloin meillä on oltava valmiiksi todistusaineistoa Jumalan olemassaolosta. Emme voi vain olettaa sitä sen perusteella, ettemme tiedä, miten maailma on syntynyt. Todellinen syy saattaisi olla jokin muukin.

Toinen läheinen opetettava käsite tunnetaan englanniksi nimellä base rate fallacy. Käyttääkseni Wikipedian esimerkkiä: kaupungista löytyy sata terroristia ja miljoona ei-terroristia. Kun valvontakamera huomaa tunnetun terroristin, aiheuttaa se hälytyksen 99% ajasta. Toisaalta, noin prosentilla niistä kerroista kun se huomaa tavallisen ihmisen, tapahtuu virhe ja väärä hälytys. Mikä on todennäköisyys, että joku joka aiheuttaa hälytyksen on terroristi?

Naiivi vastaus olisi, että todennäköisyys on 99%. Kuitenkin kamera kuvaa paljon useampia ei-terroristeja kuin terroristeja, joten mahdollisia virhehälytyksiä tulee paljon useammin. Jos kaikki kaupungin 1 000 100 asukasta kulkevat kameran ohi, aiheuttaa miljoonasta viattomasta asukkaasta prosentti väärän hälytyksen, joita tulee siis 10 000. Sadasta terroristista 99 prosenttia aiheuttaa puolestaan aiheellisen hälytyksen, joita tulee siis 99. Vääriä hälytyksiä on siis yli sata kertaa enemmän - oikeiden hälytysten osuus kaikista hälytyksistä on 99/10 099, alle prosentti. Tämä vaikka väärän hälytyksen todennäköisyys on vain sadasosa oikeasta tunnistuksesta! Yleisesti voidaan sanoa, että mikäli meillä on teoria A ja tapahtuma X jonka ajattelemme ehkä tukevan teoriaa, ei meidän riitä osoittaa, että A aiheuttaisi X:n mikäli olisi tosi. On myös kysyttävä, mitkä kaikki muut vaihtoehtoiset selitykset saattaisivat aiheuttaa asian X. Hyvin usein ihmiset keskittyvät vain kysymykseen "jos X pitäisi paikkansa, näkisimmekö A:ta", ja ajattelevat sen olevan sama kysymys kuin "jos näemme A:ta, pitääkö X paikkansa". Konkreettisena esimerkkinä: monet ajattelevat "näkisimmekö jonkin kulttuurialan voittojen vähentyneen, mikäli tiedostonjakaminen vähentäisi myyntiä" ja vastaavat kyllä. Nähdessään tämänlaista voittojen vähentymistä, olettavat he tiedostonjakamisen olevan syypää. Tällöin he kuitenkin jättävät huomiotta sen seikan, että voittojen vähentyminen voi johtua jostakin muustakin. (Oikea laskutapa hyvin perusteellisesti selitettynä.)

Nämä ovat vain muutamia esimerkkejä niistä tavoista, joilla matematiikka liittyy syvällisillä tavoilla ja suoraan tosimaailman ymmärtämiseen. Eikä niistä mainita koulussa käytännössä mitään. Muutenkin kouluissa tulisi opettaa matematiikan käyttämistä maailman hahmottamiseen ja loogisten lainalaisuuksien löytämiseen, ei tylsään mekaaniseen laskentaan. (Tällä hetkellä kouluissahan ei varsinaisesti edes opeteta matematiikkaa, vaan laskemista.)

Piditkö tästä kirjoituksesta? Näytä se!

0Suosittele

Kukaan ei vielä ole suositellut tätä kirjoitusta.

NäytäPiilota kommentit (10 kommenttia)

MARKUS RURIK RÄSÄNEN (nimimerkki)

ELÄMME JO VALLANKUMOUKSELLISESSA TILANTEESSA

www.markusreed.julkaisee.fi ”Räsäsen seinälehti”
Suomen punaisin Päätoimittaja Markus ”Red” Räsänen kommentoi:

VALLANKUMOUS ON VAIVANSA ARVOINEN

Joutessasi Kaj voit katsoa lehteni sivulta ”Menetetty revoluzion” elokuvan maailmanhistorian suurimmasta petoksesta.

Pieni huomio (nimimerkki)

Jakokulma ja allekkaiset laskutoimitukset ovat tärkeitä, sillä ne kehittävät algoritmista ajattelua. Algoritmeja taas tarvitaan esimerkiksi ohjelmoinnissa tai vaikka arkipäivän askareissa (ota rätti, kasta se, pyyhi pöytä, toista kaikille kodin pinnoille).

Pikaisella googlaamisella löytyi tällainen artikkeli:
http://www.edu.joensuu.fi/sokla/yksikot/mat/matema...

Käyttäjän kajsotala kuva
Kaj Sotala

Joo, allekkaista laskemista en yhteen- ja vähennyslaskun suhteen hirveästi vähentäisikään - se on oleellista sen hahmottamisessa, miten ne laskutavat loppujen lopuksi toimivat. Ainakin itsekin käytän jotakin niidenkaltaista päässälaskussa edelleen. Jakolaskun ja kertolaskun kohdalla en sitten olekaan enää niin varma, miten hyödyllisiä ne loppujen lopuksi ovat, vaikka toki niistäkin on perusteet hyvä olla. Painottaisin ala-asteella joka tapauksessä selkeästi enemmän päässälaskua kuin paperilla laskemista.

Algoritmista ajattelua luulisi olevan tehokkaampi opettaa suorempaa, kuten sillä ohjelmoinnilla suoraan. Yksinkertaista ohjelmointia voisi hyvin tuoda jo ala-asteelle (itse opettelin QBasicin käyttöä ala-asteen aikoihin). Tai sitten sopivien pelien muodossa.

R (nimimerkki)

Se olisi erittäin hyvä lähtökohta, että saa asioiden perusteet, tarkemmin, premissit kuntoon. Näistä juontuu sitten se kaikki muu. Se on kiistatta hyödytöntä aloittaa opettelu sieltä täältä siitä 'kaikesta muusta' ja jättää varsinaiset syyt vähemmälle huomiolle. Eli mekaanisesti "tämä tulee tänne, tuo menee tuonne" kertomatta 'miksi'.

--------------------------

Peruskoulussa olisin jäänyt varmasti koukkuun sellaiseen peliin, jossa tarkoituksena on pommittaa vihollisen linnoitusta, laskemalla pommeille oikeat lentoradat, muurin vahvuudet ja räjähteiden määrät. Tästä perusideasta voisi saada sekä lautapelin että tietskapelin. Idea on vapaa.

Tämä kuitenkin torpattaisiin todennäköisesti opetussuunnitelmassa terrorismina tms.

elakegubbe (nimimerkki)

Hyvin tärkeästä aiheesta hyvä, mutta ylen pitkä kirjoitus. Nyt ei matemaattisen kielen kauneus ja pelkistys kohdannut kirjoitettua kieltä. Vähintään 2/3-osaa pois ja alkaa olla ehkä luettavissa olevaa.

Matematiikan historian lisääminen on loistava ajatus ei itsenäisenä kertomuksena, vaan lyhyinä tietoiskuina laventamassa ajattelua. Esimerkiksi pyramiidin korkeus => koulun korkeus, maapallon ympärys, raha => inflaatio, kotien tontit, asuntojen pinta-alat (laske erimuotoiset huoneet yhteen), tapahtumien todennäköisyys (ehkä korttipelin avulla) jne. Löydät varmaan muutamassa minuutissa kymmeniä esimerkkejä, joilla voi liittää teorian käytäntöön.

Matematiikka kehittää abstraktia ajattelua, jota ilman ei itse asiassa kukaan tule toimeen. Joku käyttää enemmän kuin toinen, mutta kaikki käyttävät. Tämän vuoksi matematiikalla on myös oma itsearvo. Se ei ole pelkästään käytäntöä auttava väline.

Päässälaskua harjoituttaisin paljon enemmän kuin nyt tehdään. Opettaisin mös tähän laskuun kuuluvia "temppuja",

Yksi sukupolvi "menetettiin", kun seurattiin Ruotsia ja yritettiin joukko-oppia opettamalla tehdä kaikista oppilaista matemaatikoita.

Toivottovasti näitä hörhöilyjä ei enää tule. Toisaalta ennustan ja olen täysin oikeassa siinä, että joku matematiikan opettamisen auktoriteetti saa vahingollisen oppinsa läpi. Kumpi jakokulma nykyinen vai entisaikainen on parempi ja miksi?

En yhtään aliarvioi enkä vähättele, kun sanon, että sinä otit esiin koko kansakuntamme tulevaisuuden kannalta elintärkeän asian

Käyttäjän kajsotala kuva
Kaj Sotala

elakegubbe: Tulin kieltämättä pohtineeksi että pitäisikö lyhentää, mutta ajattelin nyt kokeilla näin pidempänä. Koska useampi ihminen on nyt kommentoinut että olisi voinut olla lyhyempikin, niin ensi kerralla tiivistän ja erottelen erillisiin kirjoituksiin sisältöä.

Olet varsin oikeassa siitä, että kaikki käyttävät todellisuudessa matematiikkaa ja siihen liittyviä abstrakteja ajattelutapoja, vaikka sitä ei kovin moni tule ajatelleeksikaan.

Eräs tämän kirjoitukseni lukenut ihminen kommentoi, että Suomen matikanopetukseen oltaisiin tuomassa Unkarissa kehitettyjä opetusmetodeja, jotka kuulema ovat kovinkin hyviä. Lukemani perusteella vaikuttaa varsin hyvältä askeleelta oikeaan suuntaan. Siitä kerrottiin ainakin näissä teksteissä: http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/naatanen1.html ja http://www.varganemenyi.fi/includes/menetelma.php .

Pidin erityisesti tästä kohtaa:

Esimerkiksi lukujen jaollisuuteen tutustuminen aloitetaan parillisista ja parittomista luvuista. Oppilailla on kokemuksia parijonossa kulkemisesta ja siitä, että joskus joku saattaa jäädä ilman paria. Liikuntatunnilla voidaan tehdä ennen liikuntaleikkiä tai –peliä jako kahteen yhtä suureen joukkueeseen. Aina joukkueista ei saadakaan yhtä suuria. Näitä kokeiluja sisältyy lapsen kouluarkeen useita. Asiaa voidaan tutkia myös matematiikan tunnilla tekemällä eri oppilasmääristä pareja: pyydetään luokan eteen vaikka viisi oppilasta, jotka tekevät parijonon ottamalla paria kädestä kiinni. Tämän jälkeen kokeillaan samaa asiaa vaikkapa pavuilla tai muilla pienillä esineillä. Tutkitaan lukumääriä myös kahteen yhtä suureen ryhmään jakamalla. Joskus saadaan yhtä suuret ryhmät, joskus taas ei. Parillisuustutkimuksia tehdään myös piirtämällä. Tutkitaan useita lukuja tällä tavoin. Annetaan oppilaiden itsensä huomata säännönmukaisuuksia ja kerätään oppilaiden havainnot. Oppilaat saavat itse tehdä päätelmiä, opettajan tehtävä on antaa heille siihen tilaisuus.

Toivottavasti ei tällä kertaa toisteta joukko-oppifiaskoa vaan saadaan oikeaa parannusta opetuksen laatuun.

Käyttäjän janikorhonen kuva
Jani Korhonen

Erinomainen kirjoitus, Kaj. Varsinkin tuo lopun esimerkki korosti loistavasti matematiikan ja tilastotieteen ymmärryksen tärkeyttä.

Muistan lukeneeni jostain, että täsmälleen vastaavantyylinen koe tehtiin lääkäreille. Heille kerrottiin juuri samanlainen kuvitteellinen tilanne jonkin vakavan sairauden paljastavasta testistä. Testin kerrottiin antavan oikean tuloksen 99% todennäköisyydellä, ja samalla lääkäreille kerrottiin, että tilastojen perusteella tuo tauti, olkoon se vaikka HIV (en muista tautia enkä tarkkoja lukuja, mutta idea oli tämä), esiintyi sadalla ihmisellä miljoonasta. Kysymys kuului, että kun lääkäri tekee tämän testin satunnaiselle potilaalle, ja se näyttää positiivista tulosta, niin kertooko lääkäri potilaalle, että hänellä on 99% todennäköisyydellä HIV.

Osa lääkäreistä olisi kertonut näin, vaikka todellisuudessa HIV:n todennäköisyys on tuo sama noin yksi prosentti. Tämä esimerkki on vielä dramaattisempi, kun ajatellaan, miten potilas oikeasti reagoisi, jos lääkäri kertoo hänellä olenav 99% todennäköisyydellä HIV, vaikka oikea todennäköisyys on vain noin 1%. Osa potilaista voisi jopa päätyä itsemurhaan -- hyvin suurella todennäköisyydellä täysin turhaan.

Matematiikan osaaminen on tärkeää.

Sami Haapavaara (nimimerkki)

Olipa pitkä kirjoitus tärkeästä aiheesta.

Näin joukko-oppia vai mitä alkio-oppia se olikaan päntänneenä sanoisin, että matematiikkaan voidaan saada kasvatustieteellistä hauskuutta ottamalla vaikka kirja mittaamisen historia sovellettuun opettamiseen:
http://www.multikustannus.fi/Products.asp?document...

Käyttäjän heikkiimmonen kuva
Heikki Immonen

Hei Kaj, hyvä ja tärkeä aihe!

Tuo ideasi kehittää opetusta/oppimista esim. pelien muotoon on arvokasta. Pelien kautta oppijalle syntyy selvä feedback-suhde opittavaan asiaan, jolloin motivaatio säilyy helpommin ja oman kehityksen ohjastaminen on paljon helpompaa. Pahimmillaan ainoa feedback-vaihe perinteisessä opetuksessa tapahtuu loppukokeissa.

Ammatillisten ja erityisesti esim. oppisopimussysteemien vahvuus perustuu mielestäni tähän luontaiseen feedbackiin, jossa oppija on koko ajan soveltamisen rajapinnassa ja pysyy näin motivoituneena.

Joni Hanski (nimimerkki)

Omat kokemukset matikasta ovat likipitäen päinvastaisia. Pidin matematiikasta tasan sen vuoksi että siinä toimittiin abstraktilla tasolla, välittämättä todellisen maailman sovellutuksista. Matematiikan "idea" kun kuitenkin on nimenomaan abstraktien olioiden käsittely, juuri sen takia että tuo abstraktius sallii näiden soveltamisen missä ikinä tahtoo.

Jos joku keksii esimerkin tilanteesta jossa arkielämässä sattuu tarvitsemaan tietoa esimerkiksi yhtälöistä, olen lievän hämmästynyt. Ynnäykset ja kertolaskut vielä menevät, samoin numerojärjestelmä, mutta jopa neliöjuuren käyttö ei-akateemisissa piireissä on jotain mihin en oikein keksi järkevää esimerkkiä. Derivaatoista, analyyttisesta geometriasta ja vastaavasta puhumattakaan.

Hauskaa kyllä, olisin ehkä ennemmin valmis muokkaamaan tai laajentamaan filosofian opetusta tähän suuntaan. Käsitys matematiikasta työkaluna oman maailmankuvan sorvaamiseen tuntuisi sopivan paljon paremmin tuolle alueelle. Esimerkiksi tuo mainitsemasi todennäköisyyslaskenta tarjoaa paljon kriittistä ymmärrystä siihen, miten maailma toimii, ja sen seurausten sivuuttaminen opetuksessa tuntuu vääryydeltä. En kuitenkaan jaa näkemystä siitä että matematiikka itsessään tai edes miltään kauhean olennaisilta osin olisi tälla tapaa kriittistä minkään arkeen liittyvän kannalta. Tietyt osat ovat, koska matematiikka abstraktina kuvauskielenä taipuu moneen, mutta suurin osa ei ole. Noiden harvojen palasten ehdoilla matematiikan opettaminen tuntuu vääryydeltä.

Toimituksen poiminnat